• 

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Одним из общих свойств трапеции является следующее: отрезок, соединяющий середины диагоналей равен половине разности оснований и лежит на средней линии.

Школьный курс геометрии включает в себя следующую задачу:

Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, является параллельным ее основаниям и равен половине их разности.

Исходные данные:

• Трапеция АВCD;
• М принадлежит АС, АМ = МС;
• N принадлежит BD, BM=ND;

Необходимо доказать следующее:

1. MN параллельна AD;
2. MN = (AD-BC)/2.

Доказательство:

1. Исходя из теоремы Фалеса, средняя линия KF данной трапеции проходит через средины сторон AC и BD, из этого получаем, что MN принадлежит KF, а отрезок MN параллелен стороне AD. Что и следовало доказать.
2. Для доказательства второй половины задачи воспользуемся свойством средней линии трапеции: средняя линия трапеции является параллельной основаниям и равняется их полусумме.
   
   треугольник АСD:
   MF = AD/2;
   
   треугольник BCD:
   NF=BC/2.
   
   Исходя из этого, получаем выражение MN = MF- NF. Подставляем в формулу значение отрезков MF и NF:
   
   MN = (AD/2)-(BC/2) = (AD-BC)/2

Теорема доказана.